と呼ばれる ミレニアム問題 によって提起される 7 つの数学的問題があります。 クレイ数学研究所 2000 年に、数学界への挑戦として。約束された報酬は、 XNUMX万ドル これらの問題が解決されれば、それぞれの問題が解決されます。ただし、現在までに実証されているのはそのうちの 1 つだけです。これらの問題は現在の数学の中で最も複雑な問題の一つと考えられており、その解決は数学だけでなく、物理学、コンピューターサイエンス、暗号化などの関連分野でも大きな進歩をもたらす可能性があります。
ミレニアム問題とは何ですか？
たくさん ミレニアム問題 これらは、既知の証拠と一致することが確認されている一連の推測または数学的記述ですが、解決策はまだ見つかっていません。 厳密な数学的証明 それはそれらを検証します。これらの問題の 1 つを解決するには、ステートメントを深く理解するだけでなく、その真実性をしっかりとした数学的根拠に基づいて証明する必要があります。これらの問題のうち 1 つだけがこれまでに解決されているという事実は、 難しさ それらの。
El クレイ数学研究所 は数学的知識の進歩を促進するためにこれらの問題を提起しました。問題が解決された場合、研究所は現代数学における最も複雑な問題のいくつかを解決したという名誉だけでなく、次のような報酬も提供します。 XNUMX万ドル。当初提案された課題は合計で 7 つありますが、現時点で解決されているのは 1 つだけです。これらの問題の内容を以下で見てみましょう。
ポアンカレ予想
La ポアンカレ予想 これは現在までに解決された唯一の千年問題です。これは 1904 年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提案され、次の分野で仮説を立てました。 トポロジ、三次元球体の特性評価に関連します。この予想では、単純に接続された 3 次元多様体は 3 次元球体と同相でなければならないと述べられています。
この予想はロシアの数学者によって最終的に解決された グリゴリー・ペレルマン 2002 年に、彼は型破りな方法で証明を発表しました。科学雑誌に投稿する代わりにオンラインで公開しました。当初彼のアプローチには懐疑的な意見もありましたが、彼の研究は他の数学者によって検証され、2006 年に フィールズ賞。しかし、ペレルマンはクレイ研究所が提供した賞金と100万ドルの両方を拒否した。
P対NP
最も有名な問題の 1 つは、 コンピューティング理論 と呼ばれる P対NP。この数学パズルは、すぐに検証できる問題はすべてすぐに解決できるのかという疑問を引き起こします。より形式的に言えば、問題は P (多項式時間で解くことができる問題のセット) が NP (多項式時間で結果を検証できる問題のセット) に等しいかどうかを定義することです。
この問題を解決できれば、次のようないくつかの分野に革命的な影響が及ぶでしょう。 暗号化、 人工知能 と 最適化。 P が NP に等しい場合、パスワードの解読など、今日のコンピューターにとって非常に複雑な多くのタスクが実行されます。 暗号化 あるいは複雑な最適化問題を解決する場合は、はるかに短い時間で実行できる可能性があります。
ホッジ予想
La ホッジ予想 の分野で発生します 代数幾何学 と 代数トポロジー。一般的に言えば、複素射影代数多様体について、ド・ラム・コホモロジーに現れる特定のサイクルは、 代数クラス 亜品種の。これらの代数サイクルは、代数部分多様体の有理線形結合になります。
この推測の最大の課題の 1 つは、この推測が両方の分野に関係する分野であり、その解決に必要なツールがその分野のみに属しているわけではないことです。 代数分野 o 微分、しかし、より横断的で複雑なテクニックが必要です。
リーマン予想
1859年にドイツの数学者によって提起された ベルンハルト·リーマン、この仮説は最も古く、最も謎めいた数学的問題の 1 つです。の リーマン予想 の分布を指します 素数 そして、リーマンゼータ関数のすべての非自明なゼロは、実数部として値 1/2 を持つと述べています。
リーマンのゼータ関数は素数と非常に密接な関係があり、この仮説が証明されれば、リーマンのゼータ関数についての理解が深まるでしょう。 素数の分布。多くの数学者はこの仮説が正しいと信じており、その推測に適合する数兆個のゼロが計算されていますが、これまでのところ完全な証明は達成されていません。
ヤンミルズの存在とマスジャンプ
La ヤン・ミルズ理論 これは素粒子物理学と場の量子理論の重要な部分です。元々は以下をモデル化するために構造化されました。 電磁場 その後、原子核内のクォークとグルーオン間の相互作用を記述する量子色力学に応用されました。数学的問題は、ヤン・ミルズ方程式の存在と厳密な妥当性を証明し、方程式がどのように生成されるかを理解することにあります。 マスギャップ.
質量ギャップ現象は、量子論において、古典的な形のグルーオンのような質量のない粒子が有限の質量を獲得する理由を指します。これまでのところ、この予想を裏付けるシミュレーションがスーパーコンピューター上で実行されていますが、厳密な数学的証明はまだ得られていません。
ナビエ・ストークス方程式
ラス ナビエ・ストークス方程式 は、を説明する一連の方程式です。 流体の動き 液体や気体など。 19 世紀に定式化されたこれらの方程式は、飛行機に影響を与える空気の流れから気象パターンや海流に至るまで、流体力学を理解するための基礎となります。ただし、 これらの方程式の複雑さ 乱流の形成や層流から乱流への移行など、数学者が特定の挙動を完全に理解することはできませんでした。
数学的課題は、特定の初期条件下で、ナビエ・ストークス方程式の滑らかな解 (つまり、特異点のない) が時間の経過とともに維持できるかどうか、あるいは逆に、連続性に影響を与える特異点が発生するかどうかを証明することから構成されます。
バーチ・スウィンナートン・ダイアー予想
これ 推測、イギリスの数学者によって提案されました。 ブライアン・バーチ y ピーター・スウィナートン・ダイアー 1960 年代に、彼は次のような合理的な解決策を扱いました。 楕円曲線。楕円曲線は代数オブジェクトであり、最も単純なバージョンでは、平面内の線として視覚化できます。 整数論 一連の算術プロパティをこれらの曲線に関連付けます。
この予想は、楕円曲線の特定の特性に基づいて、楕円曲線の有理解が有限数であるか無限数であるかを判断する方法があることを示唆しています。 L関数。楕円曲線は多くの最新の暗号化システムの基本であるため、この問題を解決するには、暗号化などの分野での重要な進歩が必要になります。
これらの問題のいずれかを解決できれば、前例のない成果となり、数学を変革するだけでなく、多額の金銭的報酬と永遠の学術的功績も得られるでしょう。