La 代数式の因数分解 これは、上記の式をより単純な係数の乗算として記述する手順です。言い換えると、 多項式を因数分解するとき、目的は、乗算すると元の同じ代数式になる項を見つけることです。
このプロセスは、方程式を単純化し、はるかに管理しやすくするため、代数において最も重要です。さらに、多項式を因数分解するときの最も重要な目的の 1 つは、多項式を次のように表すことです。 他の低次の多項式の積.
この概念をよりよく理解するために、基本的な例を考えてみましょう。
代数式: x(x + y)
この式の項を乗算すると、次が得られます。
x2 +xy
この方法では： x(x + y) = x2 +xy
La 因数分解 これは、問題解決を簡素化するだけでなく、代数式の項間のプロパティや関係を識別できるため便利です。
共通の要因
因数分解テクニックを始める前に、この用語の意味を理解することが重要です。 共通因子。多項式内の共通因数を検索することで、式のすべての項で繰り返される項を特定し、式を簡略化できるようにすることを目的としています。
ただし、ファクタリングはいつでも利用できるわけではないことに注意することが重要です。因数分解するには、使用する共通項が少なくとも 1 つ必要です。そうしないと、これ以上単純化できません。
たとえば、式では次のようになります。
xa + yb + zc
何もありません 共通因子 項の間にあるため、因数分解を実行できません。
それが実現可能な別のケースを見てみましょう。
a2x + a2y
ここでの共通因数は、 a2。簡単にするために、両方の項を次の共通因数で割ります。
- a2x で割られます2、これは x を与えます
- a2y で割られます2、それが与えるもの、そして
最後に、因数分解された式は次のようになります。
a2（x + y）
多項式の因数分解における共通因数の使用
多くの場合、多項式の一部の項には 共通因子、そうでない人もいます。このようなシナリオで行うべきことは、 用語のグループ化、グループ化された用語が共通の因子を共有するようにします。
たとえば、式では次のようになります。
xa + ya + xb + yb
用語はさまざまな方法でグループ化できます。
（xa + ya）+（xb + yb）
グループ化された用語を分析すると、各グループに共通の要因が観察できます。
a(x + y) + b(x + y)
最後に、次のように式を因数分解できます。
(x + y)(a + b)
この手法は「グループ因数分解」と呼ばれ、すべての項が同じ共通因数を持たない場合でも、多項式を単純化できます。グループ化には複数の方法があり、結果は常に同じになることに注意してください。たとえば、これと同じケースで、用語を次のようにグループ化できます。
（xa + xb）+（ya + yb）
これはまた次のことにつながります。
x(a + b) + y(a + b)
最終的には同じ結果が得られます。
(a + b)(x + y)
このプロセスは、因子の順序によって最終生成物が変更されないという交換法則によってサポートされています。
高度な手法: 注目の商品を使用したファクタリング
多項式を因数分解する方法は他にもあります。 注目の製品。最も一般的な注目すべき製品は、 完全な二乗三項式 Y·エル x 形式の三項式2 + b x + c。他にも注目すべき製品がありますが、それらは二項に適用される傾向があります。
完全な二乗三項
Un 完全な二乗三項式 これは 3 つの項で構成される多項式であり、二項式を二乗した結果です。ルールによれば、プロセスは次の構造に従うことになります。 第 1 項の 2 乗に、第 1 項の 2 倍と第 2 項の乗算、および第 2 項の 2 乗を加えたもの.
完全二乗三項式を因数分解するには、次の手順に従います。
- 第 1 項と第 3 項の平方根を抽出します。
- 根を第 2 項に対応する符号で区切ります。
- 形成された二項式を二乗します。
例を見てみましょう：
4a2 – 12ab + 9b2
- 4aの平方根2：2a
- 9bの平方根2：3b
三項式は次のように因数分解されます。
(2a – 3b)2
x形式の三項2 + b x + c
このタイプの三項式には、より簡単に因数分解できる特定の特性があります。この形式の三項式を因数分解できるようにするには、次の基準を満たしている必要があります。
- 第1項の係数はXNUMXでなければなりません。
- 最初の項は二乗変数でなければなりません。
- 1 番目の項は同じ変数を持ちますが、二乗されていません (指数は XNUMX です)。
- 第 2 項の係数は正または負の値になります。
- 3 番目の項は、前の項とは直接関係のない数値です。
この因数分解の例は、次の三項式になります。
x2 + 9x +14
これを因数分解するには、次のプロセスに従います。
- 三項式を 2 つの二項式に分解します。
- 各二項式の最初の項は、三項式の最初の項 (この場合は「x」) の平方根です。
- 二項式の符号は、三項式の 2 番目と 3 番目の量 (この場合は正) に従って割り当てられます。
- 乗算すると 14 になり、加算すると 9 になる 7 つの数値を探しています (選択肢は 2 と XNUMX)。
このようにして、因数分解された三項式は次のようになります。
(x + 7)(x + 2)
追加の手法: 因数定理とルフィニの法則
El 因数定理 元の多項式を x = a として評価すると、結果が 0 になる場合、多項式は (x – a) の形式の多項式で割り切れると述べています。この定理は、多項式の根を見つけるのに役立ち、因数分解が容易になります。と組み合わせて使われることが多いです ルフィニの法則、多項式の除算を実行するための簡略化された方法。
これらのツールは、完全二乗三項式や注目すべき積などの単純な手法を適用できない、次数 3 以上の多項式を扱う場合に特に役立ちます。
最後に、すべての多項式が簡単に因数分解できるわけではないことに注意することが重要です。場合によっては、多項式の根を見つけるために、より高度な方法または数値的手法に頼る必要があります。ただし、基本的な代数で見られるほとんどの例は、これらのツールを使用して解くことができます。
因数分解は、複雑な式を単純化し、方程式をより効率的に解くことができるため、代数における強力なツールです。多項式の因数分解のさまざまな方法を習得することで、さまざまな問題に対してより迅速かつ効果的な解決策を適用できます。